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Bestimmung des Diffusionskoeffizienten: Nach der Schlierenmethode

Bestimmung des Diffusionskoeffizienten: Nach der Schlierenmethode

Theorie

1.1Diffusion

Diffusion kann als Teilchentransport gegen einen Konzentrationsgradienten beschrieben werden: 1. Ficksche Gesetz
Die Konzentrtationsänderung mit der Zeit wird dabei über das 2. Ficksche Gesetz beschrieben: AC-F Praktikum WS 05/06

1.1  Bestimmung des Diffusionskoeffizienten

Während bei ?t=0s das Konzentrationsprofil (z(c)) eine Rechteckfunktion ist, wird (z(c)) nach t=eine Konstante.

Um nun für Zeiten zwischen t=0 und t=∞ eine Konzentrationsprofilsfunktion zu finden, geht man zunächst von einer Fehlerfunktion aus:

Mit dem Extremwert des Gradienten bei z=0 ergibt sich schließlich die folgende Beziehung für den Diffusionskoeffizienten:

wobei E die Entfernung: Küvette => Schirm

?L Breite der Küvette

n1, n2 die Brechungsindices der Lösungen und n0 den Brechungsindex der Luft darstellt.

1.2  Lichtbrechung

Lichtbrechung kann allgemein über das Snellius?schen Gesetz beschrieben werden:

 


????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

n: Brechungsindex???????? c:Lichtgeschwindigkeiten

Lichtbrechung regt dabei die Elektronenhülle der Atome eines Mediums zu Polarisations-schwingungen an. Die oszillierende Ladungswolke strahlt wiederum Wellen der gleichen Frequenz ab, die Phase ist jedoch zur einfallenden Welle verzögert.

Somit ist der Brechungsindex von der Teilchenzahldichte und der Polarisierbarkeit α des Materials abhängig. Nach Clausius und Mosotti gilt:

Derjenige Teil des Lichtbündels, welcher durch den Ort des größten Konzentrationsgradienten verläuft, erfährt aufgrund der größten Brechungsindexinhomogenität die größte Lichtbrechung. Die abgebildete Kurve stellt also eine verzerrte Ableitung? des Konzentrationsprofils der Küvette dar.

II.                 Versuchsdurchführung

 

Mithilfe eines Glaßstabes wurde zunächst das punktförmige He-Ne Laserlicht aufgefächert. Ein Milimeterpapier auf einem Detektorschirm kennzeichnet die 45? gekippte Lage des aufgefächerten Laserbündels. Eine Glasküvette wurde etwa bis zur Hälfte mit dest. Waßser aufgefüllt und im ersten Versuch mit ZnSO4, im zweiten mit NaCl sehr vorsichtig unterschichtet. Eine unvorsichtige Unterschichtung ist an einem geringer ausgeprägten Minimum zu erkennen. (Durchmischung). Anfangs wurde in 2 Minuten, dann in 5 und schließlich in 10 Minuten Abständen der ZMax Wert und die jeweilige Zeit notiert. Die Diffusion in der ZnSO4 Probe wurde 90 Minuten, die Diffusion in der NaCl Probe 60 Minuten betrachtet.

III.             Auswertung

3.1   Bestimmung des Diffusionskoeffizienten von ZnSO4 Lösung

Zunächst wurde t als Funktion von (Zmax)-2 für ZnSO4 und NaCl-Lösung aufgetragen. (siehe Grafik). Zudem wurden die Fehler in (Zmax)-2-Richtung mithilfe von Fehlerbalken veranschaulicht. Dies ist notwendig, damit Origion bei der linearen Regreßsion die mit der Zeit steigende Ungenauigkeit (Fehler von ?0,1cm steigt prozentual mit sinkendem Z an!)miteinbezieht. So gewichtet Origin also die anfangs gemeßsenen Werte höher.

Für Zinksulfat erhält man so eine Steigung von: 114483,095cm2s

Daraus kann nun mit Hilfe folgender Werte der Diffußsionskoeffizient bestimmt werden: (T(Refraktometer)=24?C)

?

3.2   Bestimmung des Diffusionskoeffizienten von NaCl Lösung

Analog kann auch der Diffusionskoeffizient der NaCl Lösung bestimmt werden:

3.3   Fehlerrechnung

 

Die Berechnung erfolgt über die Methode des Maximalfehlers. Im Prinzip also als Addition der Einzelfehler.

 

Folgende Werte sind dabei notwendig:

DE = 0,2 cm ???E=47,9cm

DL=0,05 ???L=1,0 cm

 

Die Fehler von n1 und n2 werden zu einem Gesamtfehler addiert. Dieser setzt sich beispielsweise aus Ungenauigkeiten im Abbe-Refraktometer (Ablesefehler, Strahlengang, Temperaturunterschiede) zusammen: Geschätzt addiert sich also :

 

DnZnSO4 =0,04998 ?DDnZnSO4 = 0,002

DnNaCl=0,03509 ?DDnNaCl = 0,002

 

n0 =1,00292? (der hier gemachte Fehler ist in seiner Größenordnung nicht relavant)

DmZnSO4 =1087,227? cm2s1??? ??mZnSO4 =114483,095? cm2s1

DmNaCl=379,685 cm2s1? ????mZaCl =14095,23563? cm2s1

a)      Fehler im ZnSO4 Diffusionskoeffizienten

 

 

 

b)      Fehler im NaCl Diffusionskoeffizienten

 

Man erkennt, das insbesondere der Fehler bei der verwendeten Küvettenbreite und der Fehler bei der Bestimmung des Brechungsindex erheblich in die Maximalfehlerbestimmung eingeht. Eine genaue Bestimmung ist hier entsprechend sinnvoll.

3.4   Ergebnißse

DZnSO4=(39,7?7,6)*10-11m2s-1=(39,7?7,6)*10-7cm2s-1

DNaCl=(15,9?4,0)*10-10m2s-1=(15,9?4,0)*10-6cm2s-1

Bei der durchgeführten Maximalfehlerberechnung müßsen folgende Punkte beachtet werden: (Zusätzliche Fehlerbetrachtung)

?         änderung des Brechungsindex bei unterschiedlichen Temperaturen, TRefraktometer = 24?C, T Versuch = 23?C (vernachläßsigbar)).

?         Die Diffusion ist jedoch auch temperaturabhängig. Diese ist erheblich und damit nicht vernachläßsigbar. (Grund: Einstein-Smoluchowski bzw. Theorie des übergangszustands; Diskußsion in Punkt 3.5)

?         Vernachläßsigung der Konzentrationsabhängigkeit. Bei (unendlich) kleiner Verdünnung weist der Diffusionskoeffizient den größten Wert auf. (Konzentration geht in der Wurzel ein)

?         Mit kleinem Z steigt der vorhandene Fehler drastisch an (Grund: Genauigkeit von 1mm steigt prozentual). Dies wurde berücksichtigt, indem Origin die Regreßsionsgerade mit entsprechenden Abweichungen automatisch gewichtet hat (siehe Grafik)).

?         Nicht miteinbezogen werden konnte die nicht exakt definierte Grenzschicht. D.h. zum Zeitpunkt t=0s war ggf. bereits eine leichte Durchmischung vorhanden. Dadurch wird zwar die Bestimmung des Diffusionskoeffizienten nicht verfälscht, allerdings fällt ?somit das vorhandene Minimum geringer aus, so daßs der Ablesefehler des Minimums sich prozentual erhöht).

?         Vorhandene Luftbläschen in der Lösung können sowohl den tatsächlich vorhandenen? Brechungsindex als auch den eigentlichen Diffusionsvorgang verfälscht haben.

 

3.5   Diskußsion der Ergebnißse

Der Unterschied des Diffußsionskoeffizienten zwischen ZnSO4 und NaCl entsteht im Wesentlichen durch die Unterschiedliche der Polarisierbarkeit der entsprechenden Anionen. Das kleine und harte Chloridanion weist eine deutlich kleinere Polarisierbarkeit auf, als das erheblich größere und auch weichere Sulfatanion. Entsprechend kleiner (Cl) bzw größer (Sulfat) ist die enstehende Verzerrung der Ionenwolke. Die Größe der Ionenwolke ist dabei proportional zur Energie, die aufgewendet werden mußs, um das entsprechende Anion von einer Ionenwolke in die nächste ?einzurastern?.

Die hier bezeichnete Energie ist eng mit der Theorie des übergangszustandes (Eyring-Theorie, Arrhenius-Model) verknüpft. Dies ist einleuchtend, wenn man die Diffusion nach der Theorie des ?random walkers? (Einstein-Smoluchowski, ?)mit einer entsprechener Aktivierungsenergie betrachtet.

Neben der höheren ?Aktivierungsenergie? ist noch ein zweiter Faktor zu berücksichtigen. Das Sulfatanion ist erheblich größer als das entsprechende Chloridanion (das zweifach positive gelandene Zinkkation wird nur etwas größer sein als das einfach positive geladene Natirumkation). Entsprechend steigt die erhaltene Reibung (Reibung senkt entsprechend grundsätzlich den Diffusionskoeffizienten) zwischen den Ionen, was? zu einer Vergrößerung des Abstands zwischen DNaCl und DZnSO4 führt.

Literatur:

Versuchsvorschrift F8