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Monte-Carlo Simulation eines Ferromagneten im Rahmen des Ising -Modells

Monte-Carlo Simulation eines Ferromagneten im Rahmen des Ising -Modells

I.Theorie

1.1 Das Ising Modell

Das Ising-Modell beschreibt insbesondere den Ferromagnetismus in Festkörpern. Die Wechselwirkung der Spins im Festkörper wird dabei häufig durch folgenden Modell-Hamiltonoperator beschrieben:

Dabei ist Jij die Austauschkopplungskonstante der entsprechenden Spins. Sie gibt an, ob eine parallele (J>0) oder eine antiparallele (J<0) Ausrichtung bevorzugt ist. Beim Ising Modell werden häufig folgende Annahmen getroffen:
  • Spins sind nur in z-Richtung ausgerichtet
  • Es wird nur die Wechselwirkung zu nächsten Nachbarn 1. Ordnung berücksichtigt (bei Oxiden schlechte Annahme)
  • Alle Kopplungskonstanten Jij sind identisch
  • Besondere Vorteile beim Ising-Modell
  • Kann Phasenübergänge exakt beschreiben
  • Diskussion von Grenzfällen bei Quantenstatistik
  • Anwendbarkeit von Computersimulationen
  • Große Erweiterbarkeit des Grundmodells
  • AC-F Praktikum WS 05/06

    1.    Die ?Monte Carlo Simulation

    Die Monte-Carlo-Simulation ist besonders geeignet, um statistische Mittelwerte (z.b Bolzmanngewicht) zu berechnen. In diesem speziellen Fall soll die Gesamtenergie und der Gesamtspin berechnet werden.

    ?

    Da für große Systeme eine Boltzmann Mittelung nicht mehr möglich ist, kann ?simple sampling? durchgeführt werden (Auswahl zufälliger Konfigurationen, welche mit entsprechenden Boltzmannfaktoren aufsummiert werden). Auch diese Methode ist noch relativ rechenintensiv und die aufsummierten Faktoren müßsen außerdem entsprechend Ihrem Boltzmanngewicht gewichtet werden. Beide Nachteile können mit Hilfe der Methode des ?Importance Sampling? umgangen werden.

    Mit Hilfe der Markov-Kette erhält man dann den Mittelwert der Observablen:

    Je nach physikalischem System kann es schwierig sein, diese Markow Kette zu erzeugen. Insbesondere mußs man sicherstellen, daßs die Markow Kette tatsächlich den gesamten Erwartungsraum bedeckt und nicht nur einen Teil des Raumes abtastet.

    I.              Versuchsdurchführung

    Die Berechnung des Phasenübergangs wird mit einem modifizierten Simulationsprogramm von http://www.rpi.edu/~limc/applets/ising/ durchgeführt.

    Um eine Einheitliche Bezeichnung der Spinrichtungen zu gewährleisten, wird die Spinrichtung ?blau? mit +1, die Spinrichtung ?rot? mit -1 bezeichnet.

    Bei der quantitative Simulation zeichnete das Programm nach einer Startzeit von 500 Schritten alle 100 Schritte automatisch auf. Gemittelte wurde beim quantitativen Verfahren jeweils über die letzten 10 Werte.

     

    II.           Qualitative Auswertung

    1.    2-dimensionaler Isingmagnet

    Analog zur Versuchbeschreibung wurden die Werte x=20, y=20 und z=1 gesetzt. Die Periodizität in z-Richtung wurde abgestellt, um einen 2-Dim Isingmagneten zu gewährleisten. Zunächst wurde die Starttemperatur von 100K und eine Temperaturerniedrigung von 10% mit einer Kopplungskonstante von J=1J eingestellt. Dabei wurden fünf Wiederholungen durchgeführt. Bei der Starttemperatur wechseln die Spins noch extreme schnell. Da die Spinrichtungen statistisch gemittelt nahezu 0 betragen, ist noch kein Magnetismus feststellbar. Zu niedrigeren Temperaturen hin steigt die Korrelationswahrscheinlichkeit. Grund dafür ist die im Verhältnis zur thermischen Energie größer werdende Kopplungskonstante J mit sinkender Temperatur.

    Bei sehr niedrigen Temperaturen (etwa 0 K) sind die Ergebnißse der unterschiedlichen Versuchsdurchführungen nicht identisch. Dies ist einleuchtend, wenn man bedenkt, das kein externes Magnetfeld eine Kraft auf die Spins ausübt. Das erhaltene Ergebnis ist also zufälliger Art. Erhalten wurde zweimal eine rein +1 und einmal eine rein -1 Spinrichtung. Intereßsanterweise war die Beobachtung in zwei Fällen, daßs auch gemischte Spinrichtungen (magnetisierte Domänen) möglich sind (weißßsche Bezirke). So ergab sich beispielsweise zweimal ein Domänenstreifen mit -1, darunter ein Domänenstreifen mit +1 auf den wieder eine solche Domäne mit -1 folgte. Anscheinend reicht die thermische Energie (kbT) bei sehr niedrigen Temperaturen nicht mehr aus, um eine einheitliche Spinkonfiguration herstellen zu können. (Die lokale energetische Senke kann durch die geringe thermische Energie nicht überwunden werden)

    2.    Einflußs eines Magnetfelds

    Durch das Anlegen eines externen Magnetfelds wird die Ausrichtung der Spins in die zum Magnetfeld parallele Konfiguration deutlich begünstigt. Zu erkennen war, das ein Magnetfeld in negative z-Richtung (-100) auch einen Spin in negative Richtung (-1; rot) zur Folge hat. Analoges ergab sich für ein Magnetfeld in positive z Richtung (+100) => Spin in positive Richtung (+1; blau).

    Nun wurde die Kopplungskonstante J erhöht und gleichzeitig die Stärke des Magnetfeldes deutlich abgesenkt. Dabei intereßsierte vor Allem die Frage, ob trotzdem die Richtung der Spins in jedem Fall in Richtung des (schwachen) Magnetfeldes ausgerichtet ist. Diese Außsage wurde bestätigt. Anscheinend mittelt sich die Kopplungsenergie bei hohen Temerpaturen heraus und das schwache Magnetfeld gibt trotzdem die Richtung der Spins vor. Anderst verhält es sich bei einer sehr niedrigen Starttemperatur: T=5K; J=10J; Magnetfeld=-0,5T. Es wurde nicht die erwartete Konfiguration mit Spin -1 (rot) sondern die Spinkonfiguration mit Spin +1 (blau) festgestellt. Die sehr kleine verfügbare thermische Energie reicht also nichtmehr aus, um die locale thermische Senke zu überwinden.

    3.    Einflußs der Kopplungskonstante

    Nun wurde bei ausgeschaltetem externen Magnetfeld die Kopplungskonstante erhöht. Es wurde festgestellt, daßs sich schon bei höheren Temperaturen die Spins in Domänen anordnen. Man kann daraus folgern, daßs je höher der Wert für J ist, desto höher ist auch die Curie Temperatur. Die Phasenübergangstemperatur von der geordneten ferromagnetischen Phase zur ungeordneten paramagnetischen Phase steigt also mit steigendem Wert für J.

    Bei einer negative Kopplungskonstante (=> Spins möchten antiparallele Spins in Umgebung haben; Antiferromagnetimus) bilden sich diagonale Spinanordnungen mit abwechselndem Spinwert. Durch diese Konfiguration ergibt sich für jeden Spin eine maximal große Anzahl an entgegengerichteten Spins zu nächsten Nachbarn 1. Ordnung. (Dies gilt auch nur, wenn wirklich nur Wechselwirkungen mit Nachbarn 1. Ordnung vorliegen; bei vielen Oxiden häufig nicht der Fall, dort spielen WW mit Nachbarn 2. Ordnung die größere Rolle).

    Befindet man sich bei einer negative Kopplungskonstante über der N?el-Temperatur (z.B. 400K) so bildet sich ein ungeordneter Zustand aus.

    4.    Simulation von Spinfrustration durch die Wahl der Randbedingungen

    Zunächst wurden die x,y Werte (Randbedingungen) bei negative Kopplungskonstante auf ungerade Werte geändert. Spinfrustration ensteht meist dann, wenn bei antiferromagnetischer Kopplung ein trigonales Gitter vorliegt. Um ein Analogon zu dem trigonalen Gitter zu finden werden die Randbedingungen so gewählt, daßs zwei antiparallele Spins einen dritten Spin in Nachbarschaft haben, der zu diesen beiden Spins nicht gleichzeitig antiparalle sein kann. Dies ist im einfachsten Fall bei einem periodischen (erster und letzter Spin wechselwirken miteinander) Gitter mit Dimension (3/3) der Fall, allgemein also bei ungeraden Werten für x und y. So kann man also mit der Wahl der Randbedingungen Spinfrustration simulieren. Zwar bilden sich wie bei geraden Werten für x und y diagonale Spinordnungen mit alternierendem Spin aus, allerdings ist immer ein lokaler Spinwechsel in einer Diagonale feststellbar. Ursache dafür ist die Spinfrustration, denn immer eine Spindiagonale hat keinen energetisch perfekten Zustand.

    Wenn periodische Randbedingungen ausgeschaltet werden, so wechselwirkt der erste mit dem letzten Spin (in jeweils einer ?Zeile?) nicht mehr. Es ist einleuchtend, daßs damit auch keine Spinfrustration mehr sichtbar sein kann. (Beispiel 3/3 Gitter; 1. und 3. Spin identisch aber wechselwirken nicht, damit keine Spinfrustration)

     

    III.           Quantitative Untersuchung des Phasenübergangs

    1.    Quantitativer Phasenübergang im 2D System

    Im Folgenden soll der quantitative Phasenübergang eines 2D Systems mit den Dimensionen (10/10/1) periodisch in x und y bei unterschiedlichen Kopplungskonstanten untersucht werden. Dabei wurden jeweils die letzten 10 Schritte bei jeder Temperatur ausgewertet. Dazu wurden einmal der Mittelwert der Energie und einmal die Beträge der Magnetisierung gemittelt gegen die Temperatur aufgetragen.

    Da die thermischen Mittelwerte einer Oberservablen im Prinzip durch Bolzmann Mittelung berechnet werden können, wurde zur Regreßsion entsprechend eine Bolzmann Verteilung herangezogen. Die Fehlerquadrate erweisen sich dadurch als gering.

    Die Quantitative Auswertung wurde für drei verschiedene Wert von J durchgeführt. Der Phasenübergang wurde jeweils aus dem Wendepunkt der Graphiken bestimmt. Dazu wurde die Regreßsionskurve zweifach abgeleitet und gleich 0 gesetzt.?

    Dabei? ergaben sich folgende Werte: (Siehe Graphiken anbei)

    Kopplungskonstante

    Phasenübergangstemperatur

    J=5J

    12,12K

    J=10J

    25,22K

    J=50J

    144,22K

     

     

     

     

     

    ???????????

    Wie man also bereits qualitative festgestellt hat, erhöht sich mit steigendem Wert für J auch die Curie Temperatur. Die Phasenübergangstemperatur von der geordneten ferromagnetischen Phase zur ungeordneten paramagnetischen Phase steigt also, wie man anhand dieser Werte sieht, mit steigendem Wert für J erheblich.

    Grundsätzlich kann der Phasenübergang auch über einen Sprung in der Auftragung der gemittelten Energie gegen die Temperatur bestimmt werden. Der Sprung kann auf folgende Weise erklärt werden:

    Der Magnet befindet sich im Gleichgewicht wenn die Freie Energie F = E - T S (E = Energie und S = Entropie) minimal ist. Für T=>0 K spielt die Entropie für die freie Energie einen sehr geringen Wert. Eine homogene Ausrichtung der Spins ist entsprechend bevorzugt. Je höher die Temperatur wird, desto größer ist der Einfluß der Entropie. Bei hohen Temperaturen ist also entsprechend der Zustand mit hoher Entropie bevorzugt ? einer statistischen Verteilung der Spins. Mit zunehmender Temperatur wird deshalb die Ordnung der Tieftemperaturphase zerstört, bis bei erreichen einer bestimmten Temperatur Tc die spontane Magnetisierung verschwindet.

    2.      Quantitativer Phasenübergang im 3D System

    Auf gleiche Weise wurde der Phasenübergang eines 3D Isingmagneten untersucht. Die Dimensionen x,y,z=(10/10/4) wurden periodisch in x,y,z mit J=10J ausgewählt. Die Phasenübergangstemperatur bestimmte sich dabei zu 34,65 K und ist dabei aufgrund der größeren Anzahl von enthaltenen Spins höher als im zweidimensionalen Fall.

    Verbeßserungsvorschläge und Ergebnis Diskußsion

    Beßsere Werte hätten sicherlich erhalten werden können, wenn über noch mehr Werte gemittelt worden wäre. Da sich die Versuchszeit dafür allerdings drastisch erhöht hätte, wurde darauf verzichtet.

    Meiner Ansicht nach wäre es zusätzlich noch intereßsant gewesen, inwieweit diese berechneten Ergebnißse mit einem konkreten praktischen Beispiel (gemeßsene Werte für einen Ferromagneten) übereinstimmen.

    Literaturwerte aus:

    [1] Versuchsvorschrift C2

    [2] http:///www.physik.tu-dresden.de/itp/members/kobe/isingphbl

    [3] http://www.physik.tu-muenchen.de/lehrstuehle/T34_sch/Ising2d.html